Qu'est-ce qu'une onde sinusoïdale?

24

Cela est venu lorsqu'un étudiant m'a demandé. Une question simple à laquelle on pourrait penser. Sauf ... comment en définir un sans tautologie? C'est-à-dire sans utiliser le mot "sinus" (ou cosinus d'ailleurs). Wikipedia n'aide pas, bien que le disque en mouvement puisse être pertinent.

En bref, je soupçonne que son professeur lui a posé un problème très difficile, bien que je puisse me tromper.

Cela est venu dans le cadre d'un cours d'électronique. Il est donc probable que toutes les réponses peuvent être dérivées des caractéristiques de divers composants / circuits.

sine Dirk Bruere
la source

25

Je vote pour fermer cette question comme hors sujet car cette question n'est pas liée à la conception électronique, mais aux mathématiques.

Michel Keijzers

9

@MichelKeijzers Je ne suis pas d'accord car cela a fait partie d'un cours d'électronique. Il est donc probable que toutes les réponses peuvent être dérivées des caractéristiques de divers composants / circuits.

Dirk Bruere

14

Je ne sais pas quel genre de réponse vous attendez. Pour moi, la fonction sinus n'est qu'une représentation mathématique de nombreux phénomènes physiques impliquant l'oscillation. Toute oscillation peut être construite comme une combinaison linéaire de fonctions sinus, ce qui fait des sinus une base pour l'espace vectoriel de toutes les fonctions périodiques.

PDuarte

15

@DirkBruere Pour un étudiant en électronique, le concept de sinus doit provenir de cours de mathématiques, pas d'électronique. Il aurait dû être clair quand il / elle étudiait la trigonométrie. Je pense que vous essayez d'expliquer des concepts de base dans des domaines supérieurs, ce qui n'est pas très efficace en pédagogie.

PDuarte

19

C'est l'ombre d'une hélice éclairée de côté.

Dampmaskin

10

Commencez par ceci:

schématique

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Dire:

nous avons l'inductance L1. Nous chargeons C1 séparément , puis le connectons rapidement comme indiqué, de sorte que le côté supérieur de ce circuit soit à un potentiel de + 1 V par rapport au côté inférieur.

Demandez-vous (ou aux étudiants):

Que va-t-il se passer ensuite?

Les étudiants intelligents diront: oui, eh bien, c'est un changement rapide de tension à travers L1, donc cela prendra un certain temps jusqu'à ce que les choses semblent plus "DC-y", et le courant commence à traverser L1 et à décharger C1, de sorte que le potentiel global être 0V.

Mais qu'en est-il du champ magnétique dans l'inductance

Oh ouais, qui stocke maintenant l'énergie du condensateur

Ainsi, le flux de courant s'arrêtera pour toujours une fois que la tension aux bornes de C1 (et L1) est de 0 V?

Non, l'énergie du champ magnétique doit aller quelque part. Le condensateur charge donc à nouveau.

Pouvons-nous mettre des formules à cela? Oui nous pouvons; entrez les équations différentielles décrivant le courant et la tension entre les condensateurs et les inductances. Montrez que vous avez besoin d'une fonction dont la dérivée seconde est elle-même, niée.

Maintenant vient la partie difficile, et je crains que vous ne puissiez rien y faire: vous devez dire: hé, c'est un sinus, cela remplit cette condition.

Marcus Müller
la source

2

C'est celui que j'ai pensé en premier. Je pense que ce serait une bonne réponse d'étudiant en EE. Mais j'ai appris depuis longtemps à répondre à ce que l'enseignant attend ...

Dirk Bruere

3

Malgré l'opinion populaire, je vais marquer cela comme la réponse parce que c'est le type de réponse qui serait le mieux pour un étudiant en EE à offrir à son professeur. Comme les gens l'ont commenté, il s'agit d'un site EE et non mathématique. Cependant, j'aime vraiment l'explication du vecteur rotatif

Dirk Bruere

57

Une façon serait de décrire une onde sinusoïdale par rapport au cercle unitaire. Le rayon dessine évidemment un cercle MAIS les coordonnées x et y tracent les formes d'onde familières.

Cela aide également à expliquer en images la formule d'Eulers:

$e^{i x} = cos(x)+ i\cdot sin(x)$

où le cas particulier de donne l'identité d'Eulers: $x = \pi$ $e^{i \pi} + 1 = 0$

description de l'image (source: https://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/ )

JonRB
la source

4

Et les coordonnées x et y d'un point sur un cercle sont profondément liées aux définitions de coset sin. Si vous savez à quoi ressemble une fonction sinusoïdale lorsqu'elle est représentée graphiquement, vous savez déjà ce qu'est une onde sinusoïdale.

Monty Harder

4

Reformulant cette réponse dans une définition: « Une onde sinusoïdale est une forme ou un signal qui peut être modélisé par une fonction qui un nombre réel à l'ampleur réelle de la partie imaginaire de . Une telle fonction est appelée la / une fonction sinus et est notée . "

x

$x$

e^{i x}

$e^{ix}$

\sin (x)

$\sin (x)$

Todd Wilcox

2

@ToddWilcox cette définition est très utile! Si simple. (Mon professeur trig était un entraîneur adjoint sans affaires d'enseignement des mathématiques et les dommages ont été durables;)

DukeZhou

3

@ToddWilcox je ne pense pas vraiment que ce soit une bonne réponse, car il s'agit du même raisonnement que le cercle. Il découle simplement de la trigonométrie de base qui est définie comme des projections de cercles unitaires. Si nous utilisons cette définition, la question est de savoir ce qu'est e et ce qui est des nombres imaginaires.

joojaa

1

@joojaa Rappelez-vous, l'aspect central de la question d'origine est de savoir comment définir le sinus sans faire référence au sinus. Personnellement, j'ai l'impression qu'une définition du sinus basée sur des triangles nécessite beaucoup d'explications et de diagrammes, puis vous devez laisser les triangles derrière et les redéfinir avec le cercle unitaire. En supposant une certaine sophistication en mathématiques (par exemple, sachant déjà ce qu'est le sinus), une définition basée sur la formule d'Euler semble être l'une des réponses les plus élégantes. Mon objectif était une définition simple, rigoureuse et textuelle. Je pense que j'en ai trouvé un qui correspond à ces critères.

Todd Wilcox

38

L'explication la plus simple que je trouve est résumée dans l'image animée ci-dessus. Il s'agit de triangles à angle droit existant à l'intérieur d'un cercle.

Photo prise d' ici . Voir aussi Pourquoi une onde sinusoïdale est-elle préférée aux autres formes d'onde .

Andy aka
la source

17

Je le décrirais moi-même comme la composante verticale du vecteur rotatif (et le cosinus comme l'horizontale), mais le même principe.

Baldrickk

2

m'a battu en publiant un tel concept (n'était pas là quand j'écrivais)

JonRB

5

+1 - SOH CAH TOA!

David K

4

@DavidK J'ai toujours préféré "Smiles Of Happiness, Come After Have, Tankards Of Ale"

JonRB

4

Les saints en haut peuvent prendre du thé ou de l'alcool.

Leon Heller

21

Simple: une onde sinusoïdale dans le temps, t , est la partie imaginaire de:

e^{j ω t}

$e^{j \omega t}$

où ω est la fréquence angulaire.

Mr Central
la source

6

+1 il s'agit de la mathématique la plus fondamentale de toute l'électrotechnique. Étant donné que la question venait d'un étudiant, vous voudrez peut-être élaborer davantage.

Jon

7

Je vais laisser mon assistant Dave Tweed remplir les détails.

Mr Central

4

J'adore regarder un étudiant qui, après avoir reçu cette définition, essaie «d'imaginer» une partie de e ^ jwt!

Cort Ammon - Rétablir Monica

@CortAmmon Je sais ce que vous voulez dire, mais cela aide à savoir ℯʲʷᵗ qui décrit une onde sinusoïdale, puis essayez de comprendre comment cela signifie cela.

DukeZhou

5

Il pourrait être utile de préciser que les EE dénotent l'unité imaginaire avec

, tandis que les mathématiciens la dénotent avec

.

j

$j$

i

$i$

Todd Wilcox

16

De nombreux problèmes de physique peuvent être formulés comme des équations différentielles linéaires du second ordre avec des coefficients constants.

Pour les oscillations continues («harmoniques») sans amortissement, le mouvement peut être décrit simplement comme une équation différentielle d'une fonction et de sa dérivée seconde. Sans atténuation, f étant généralement fonction du temps , vous obtenez quelque chose comme ceci:

a f^{″} + f = 0

$af''+f=0$

Vous pouvez définir la fonction sinus comme f, la solution générale à cette équation. Il est possible de montrer que c'est la seule solution générale à ce problème.

Voici votre définition simple: une solution et un bon modèle pour décrire les phénomènes courants.

Voir aussi cette réponse: /electronics//a/368217/39297

Florian Castellane
la source

Puis-je demander la signification du '' dans ce contexte? Je l'ai trouvé utilisé par rapport au double prime ... Est-ce là la bonne utilisation, relative au temps?

DukeZhou

3

@DukeZhou C'est la dérivée seconde par rapport à la variable indépendante susmentionnée, qui est le temps dans ce cas.

Todd Wilcox

2

réponse bonus (postée en commentaire, puisqu'il s'agit d'un bonus): dans le cas transitoire, vous avez des termes exponentiels (exponentielle décroissante en cas d'amortissement). Si vous réécrivez le problème en utilisant exponentielles en tenant compte du fait que

, vous pouvez trouver une solution en utilisant seulement exponentielles, qui généralise à une solution d'

pour tout nombre réel a, b

s i n (t) = ℑ (e^{j w t})

$sin(t)=\Im(e^{jwt})$

a f'' + b f' + f = 0

$af′′+bf′+f=0$

Florian Castellane

1

Une autre façon de formuler cette réponse: une onde sinusoïdale est la position d'un objet se déplaçant de telle manière que sa position est toujours opposée à son accélération (avec les unités appropriées). Soit dit en passant, techniquement, il n'est pas correct qu'une onde sinusoïdale soit la solution générale à votre équation différentielle; ce n'est qu'une solution particulière . (Ma reformulation le dit sournoisement, mais d'une manière obscure.)

LSpice

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Facile. Commencez par les locomotives à vapeur. Le sinus est la position de son piston par rapport à l'angle de la roue. * Vous pouvez aller en regarder un dans un musée: trig en couleur vivante.

Par exemple, regardez la liaison à 3 heures et 9 heures (90 et 270 sur l'onde sinusoïdale, où elle est plate) et vous voyez où le piston a un problème: il ne peut appliquer aucune force. C'est pourquoi le mécanisme est dupliqué de l'autre côté, déphasé à 90 degrés. Ce piston est au sommet de son effet de levier.

Le concept fonctionne encore mieux avec 3 (60 degrés hors phase), ce que les locomotives à vapeur ont fait quand elles le pouvaient (Royaume-Uni, Shay) et ce concept est utilisé aujourd'hui en puissance triphasée.

Et les générateurs AC font la même chose, car le champ magnétique DC sur le rotor balaie les enroulements de champ immobiles. Un générateur est entraîné, mais un moteur monophasé peut se coincer au point mort haut comme un moteur à vapeur à piston unique. Cela est résolu par un enroulement de démarrage spécial. Les moteurs triphasés n'ont pas ce problème.

Ce concept revient sans cesse dans la conception mécanique et donc la conception électronique. Comme d'autres l'ont souligné, cela apparaît beaucoup dans la nature. Notez également que si la position est une onde sinusoïdale, la vitesse est une onde sinusoïdale, l'accélération est également une onde sinusoïdale, la secousse (dA) est également une onde sinusoïdale, ce sont des ondes sinusoïdales jusqu'en bas. Le "rectangle parfait" du mouvement.

* Maintenant, la tige principale de la locomotive à vapeur la fait légèrement tomber d'une onde sinusoïdale pure, mais c'est une tige assez longue (contrairement à votre moteur de voiture) et donc la différence est négligeable sur le plan opérationnel et ne concerne pas les constructeurs de locomotives .

DaveTweed: pas un dup parce que je vais directement pour l'application du monde réel.

Harper - Rétablir Monica
la source

4

Merci d'avoir décomposé cela en termes d'ingénierie de la vieille école! (Je me retrouve souvent à souligner que les ordinateurs sont antérieurs aux circuits intégrés :)

DukeZhou

2

@DukeZhou Et les ordinateurs électroniques / électromécaniques / mécaniques antérieurs étaient l'ordinateur humain, qui effectuait les calculs manuellement.

JAB

Et puis vous ajoutez un engrenage de soupape d'inversion, avec un peu de "plomb" pour compenser les soupapes qui ne sont pas parfaites. Ouais, plus de trig!

AaronD

7

Voici une autre explication:

ondes sinusoïdales

Devis adapté:

Une onde sinusoïdale est un changement ou un mouvement répétitif qui, lorsqu'il est tracé sous forme de graphique, a la même forme que la fonction sinusoïdale.

Une citation plus orientée vers l'électronique:

L'énergie électrique de votre maison est du courant alternatif ou alternatif. Le sens du flux de courant s'inverse 50 ou 60 fois par seconde selon l'endroit où vous vivez. Si vous tracez la tension en fonction du temps, vous constaterez que c'est également une onde sinusoïdale, car elle est dérivée d'un générateur rotatif.

Dans le lien, des exemples de physique peuvent également être trouvés pour les ondes sinusoïdales concernant l'amplitude, la période et la fréquence.

Par exemple, un poids suspendu par un ressort. Lorsqu'il rebondit de haut en bas, son mouvement, lorsqu'il est représenté graphiquement dans le temps, est une onde sinusoïdale.

Michel Keijzers
la source

2

Mais vous recommencez à utiliser la tautologie.

Dirk Bruere

8

@DirkBruere Non, il ne l'est pas, un sinus et une onde sinusoïdale sont des choses différentes. Si vous posez des questions sur la définition d'un sinus, c'est complètement hors sujet. D'autres réponses tentent simplement de dire "un sinus est la solution à l'équation différentielle associée à un oscillateur harmonique, voici quelques endroits où vous trouverez un oscillateur harmonique en électronique". Le fait est qu'un sinus peut être défini de plusieurs façons, toutes axiomatiquement en mathématiques. Une onde sinusoïdale ne peut être définie que comme dans cette réponse.

DonFusili

@DonFusili Merci pour la remarque, je n'ai pas pu l'exprimer plus clairement.

Michel Keijzers

1

D'une certaine façon, je ne pense pas qu'il obtiendrait beaucoup de crédit pour cette réponse, même si elle est exacte

Dirk Bruere

2

Mon sentiment est qu'une somme de jeu pour certains types de jeux peut également être exprimée en onde sinusoïdale, jusqu'à ce que le résultat soit déterminé (le score bascule entre - et +, où le joueur un est + et le joueur deux est -)

DukeZhou

7

La réponse donnée par Florian Castellane montre que l'onde sinusoïdale est la solution pour une équation différentielle très basique. Mais cette réponse peut être difficile à comprendre si l'on n'a pas étudié les équations différentielles.

Quand on écrit:

$a \cdot f'' + f = 0$ $f'' = -\frac{1}{a}\cdot f$

le f est une variable que nous mesurons et f '' est sa dérivée seconde.

Cette équation différentielle apparaît à de très nombreux endroits en physique:

$F = kx$
$\frac{dI}{dt}=\frac{1}{L}\cdot v$

Mais il se trouve qu'il existe également une autre source d'ondes sinusoïdales, et c'est tout ce qui est lié à la rotation circulaire. Le principe de ceci est bien montré dans la réponse d'Andy aka. La rotation circulaire provoque des ondes sinusoïdales, par exemple dans les générateurs électriques, ainsi que dans notre propre système solaire.

jpa
la source

2

Cette. Dans le contexte du génie électrique, l'explication la plus naturelle est qu'il s'agit de la solution à un système avec une dérivée seconde d'une valeur inversement proportionnelle à sa valeur actuelle.

MooseBoys

@jpa, votre "autre source", le mouvement circulaire, est aussi un endroit où la même équation différentielle apparaît en physique, non? Il pourrait donc s'agir simplement d'une troisième puce. Comme pour les ressorts, f est la composante verticale de la position, f ' est la composante verticale de la vitesse et f' ' est la composante verticale de l'accélération. L'accélération est liée linéairement à la position, même si la mécanique est différente de celle des ressorts.

LarsH

@LarsH Oui, mathématiquement. Mais intuitivement, cela ressemble plus à la conséquence qu'à la raison.

jpa

D'ACCORD. Je ne savais pas que vous vouliez que vos points de balle soient limités à certains modèles de causalité.

LarsH

7

$A\sin(\omega t + \varphi)$

Mais c'est quelque peu tautologique, qu'est-ce qui rend le péché spécial? pourquoi considérons-nous les ondes sinusoïdales comme des fréquences "pures"?

Et la réponse à cela est comment il se comporte sous la différenciation.

\frac{d}{d t} A \sin (ω t + φ) = A ω \cos (ω t + φ) = A ω \sin (ω t + φ + \frac{π}{2})

$\frac{d}{dt}A\sin(\omega t + \varphi) = A\omega\cos(\omega t + \varphi) = A\omega\sin(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})$

Ainsi, la dérivée d'une onde sinusoïdale est une onde sinusoïdale à la même fréquence. Bien sûr, il est déphasé et a une amplitude différente, mais c'est la même fréquence et la même forme.

Hormis la constante arbitraire, il en va de même pour l'intégration.

\begin{aligned} \int A \sin (ω t + φ) d t & = - \frac{A}{ω} \cos (ω t + φ) + C \\ = \frac{A}{ω} \cos (ω t + φ + π) + C \\ = \frac{A}{ω} \sin (ω t + φ + \frac{3 π}{2}) + C \end{aligned}

$\begin{alignat}{2}\int A\sin(\omega t + \varphi)dt & = -\frac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi) + C \\ & = \phantom{-}\frac{A}{\omega}\cos(\omega t + \varphi + \pi) +C \\ & = \phantom{-}\frac{A}{\omega}\sin(\omega t + \varphi + \frac{3\pi}{2}) +C \end{alignat}$

Les ondes sinusoïdales sont les seules véritables fonctions périodiques pour lesquelles cela est vrai. Toutes les autres fonctions périodiques réelles changeront de forme lorsqu'elles seront différenciées ou intégrées.

On peut donc dire

"une onde sinusoïdale est un signal périodique qui conserve sa forme et sa fréquence lorsqu'il est différencié ou intégré"

Peter Green
la source

2

A \cos (ω t + φ)

$A\cos(\omega t + \varphi)$

3

Oui, le cos n'est qu'une version déphasée du péché. Il en va de même pour lui.

Peter Green

2

Un autre problème connexe est que l'ajout d'Asin (ωt + φ) à l'entrée de tout filtre linéaire ajoutera X (ω) sin (ωt + Y (ω)) à la sortie, pour certaines fonctions spécifiques au filtre X (ω) et Y (ω). La forme d'une onde sinusoïdale est invariante non seulement par rapport à l'intégration et à la différenciation, mais à tout type de filtrage linéaire. [Un fait qui pourrait être utile si l'on ne connaissait pas la relation entre intégration / différenciation et filtres linéaires].

supercat

6

De nombreux systèmes en physique permettent l'apparition soudaine et surprenante d'ondes sinusoïdales. Quand vous étiez jeune, par exemple, vous avez vu des ondulations dans l'eau stable, le mouvement d'une balançoire après avoir poussé et lâché, et vous avez essayé de plier une règle rigide, puis de la relâcher. Ces choses, bien que différentes, partagent une propriété commune: elles se tortillent, se balancent, ou ... vibrent ou ... plus généralement, elles vont et viennent. Les années passent, puis vous vous êtes retrouvé dans un cours d'ingénierie, où vous étudiez ce qui se passe vraiment avec ces trucs que vous avez observés, pour découvrir qu'ils se tortillent de la même manière! Et c'est, surprise, surprise, la sinusoïde. C'est la quintessencevague, parce que son existence dans la nature est d'une grande importance. Qui sait, si des ondulations dans l' eau étaient stables ondes carrées, si le mouvement de la balançoire prend la forme d'une onde carrée, etc , etc., puis l'onde carrée serait être la forme d' onde par excellence, il se trouve que ce n'est pas vrai et l'onde sinusoïdale se manifeste tellement dans l'univers.

Ce qui est vraiment fascinant, c'est que l'onde sinusoïdale provient de triangles et de cercles. Maintenant, sans connaissance des mathématiques, il est vraiment difficile de relier les points à partir de là aux manifestations de l'onde sinusoïdale dans l'eau, les balançoires, les règles, etc., mais le fait est que le dérivé d'une onde sinusoïdale, est une onde sinusoïdale, et qui se trouve à travers la géométrie du cercle et du triangle rectangle. Et les systèmes physiques peuvent être modélisés par des équations différentielles, ce qui donne la certitude que les ondes sinusoïdales existent dans ces systèmes (n'oubliez pas non plus les exponentielles; leur existence dans la nature est également très importante; elles ont une connexion étrangement profonde avec les ondes sinusoïdales) , qui est finalement révélé dans la formule d'Euler).

Une autre chose à propos de l'onde sinusoïdale est qu'ils peuvent "traverser" très bien certains systèmes. Avoir une entrée sinusoïdale vers un système LTI (tel qu'un système construit uniquement de résistances, de condensateurs et d'inductances idéales) et vous obtiendrez une sortie sinusoïdale (en particulier une qui préserve la fréquence de l'entrée). En d'autres termes, la forme d'onde sinusoïdale est la seule forme d'onde unique qui ne change pas de forme via un système LTI. Jetez un oeil à cette conférence.

Et la chose triste à propos des ondes sinusoïdales est qu'elles n'existent techniquement pas. Les ondes sinusoïdales que vous sortez de la nature ont des déformations, des distorsions, du bruit et des composants passifs idéaux aussi, n'existent pas. Le mieux que l'on puisse obtenir n'est que des approximations proches de l'onde sinusoïdale. Cependant, si quelqu'un est si délicat pour faire avancer les mathématiques de manière à prendre en compte ces imperfections, les mesures peuvent devenir de plus en plus précises (ce qui pourrait être limité au niveau atomique en raison de la mécanique quantique et de tout ce mumbo jumbo).

mjtsquared
la source

L'onde sinusoïdale provient souvent d'équations différentielles plutôt que de lignes et de cercles, et là la fromulation exponétiale est plus appropriée, il se trouve que la fonction sinusoïdale est une expression plus simple. que l'exponentiation complexe.

Jasen

Je parlais de la définition de la fonction sin (et peut-être cos), la composante fondamentale de l'onde sinusoïdale. J'ai fait une petite erreur en ne le mentionnant pas.

mjtsquared

6

Projection orthogonale d'un point se déplaçant avec une vitesse et une direction angulaires constantes le long d'un cercle, tracé en fonction du temps.

Tomislav Gudelj
la source

2

visuel: en.wikipedia.org/wiki/File:ComplexSinInATimeAxe.gif

Daniel

Finalement! Il semble que tout le monde ait oublié la géométrie de nos jours!

Jose Manuel Gomez Alvarez

3

La façon la plus simple de l'imaginer est la projection d'une hélice sur un plan contenant la ligne médiane de l'hélice. Si vous mettez un ressort hélicoïdal standard sur un rétroprojecteur, il projettera une onde sinusoïdale. (Tournez pour corriger la phase en conséquence, si vous êtes un puriste. :-)

Cristobol Polychronopolis
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3

J'essaie de le concrétiser un peu, en suggérant l'idée de construire un appareil "Plotter" à l'ancienne ... quelque chose qui peut faire rouler une feuille de papier d'avant en arrière, puis qui a un stylo et un bras qui ne peuvent se déplacer que sur un axe .

Si vous essayez d'amener quelqu'un à réfléchir à la construction d'une telle machine, vous pouvez facilement le faire réfléchir à sa programmation pour tracer des lignes et des carrés. Il est également relativement facile de leur faire penser à dessiner un diamant, lorsqu'ils déplacent le papier et le stylo à la même vitesse.

Ensuite, s'ils commencent à penser à ce qu'il faut pour dessiner un cercle, ils doivent penser à ce qui est différent du dessin du diamant. Ils doivent accélérer puis ralentir le mouvement du bras et aller dans l'autre sens.

J'ai envie de le concrétiser de cette manière, cela démystifie les graphiques.

HostileFork
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3

Imaginez un disque en rotation. Orientez-le verticalement. Mettez un morceau de chewing-gum quelque part sur le bord. Regardez de côté. placez du papier photo à l'ancienne derrière et une lumière devant. tirez le papier à une vitesse constante, développez-le et vous verrez une onde sinusoïdale.

L'onde sinusoïdale est la solution de base au problème simple du mouvement harmonique. C'est le diff eq y = - k dy ^ 2 / dx ^ 2.

eSurfsnake
la source

1

Si vous avez affaire à des étudiants en génie / à quelqu'un qui a eu sa première année (semestre, peu importe) de calcul, vous pourriez dire qu'une fonction sinus est une fonction dont la dérivée est elle-même décalée de 90 degrés. En d'autres termes, la vitesse à laquelle il change de position est la même que la vitesse à laquelle il change de vitesse, mais pas en même temps.

John Doe
la source

-1

Une façon de décrire la particularité d'une onde sinusoïdale est qu'il s'agit d'une fréquence "pure". Toute fonction de répétition analytique peut être décrite comme une combinaison d'onde sinusoïdale. Les ondes sinusoïdales sont les éléments constitutifs dans lesquels ces fonctions peuvent être décomposées.

Les sinus sont également la forme d'onde "naturelle" produite par un objet oscillant. Imaginez une masse balançant à la fin d'un printemps. Une fois que vous le lancez, il va monter et descendre. Avec un ressort parfait, ce mouvement vertical en fonction du temps est un sinus. Dans le monde réel, ce sera un sinus qui se désintègre lentement en amplitude car le ressort dissipe un peu d'énergie à chaque fois qu'il est fléchi.

Ce même effet peut être observé en électronique avec un condensateur et une inductance en parallèle. Si vous chargez le capuchon, fermez un interrupteur de sorte que l'inducteur et le capuchon soient en parallèle, l'énergie oscille indéfiniment entre les deux s'ils étaient idéaux. La tension et le courant sont tous deux sinus, mais déphasés de 90 ° l'un par rapport à l'autre. Tout comme avec le ressort et la masse, dans le monde réel, les deux vont en fait se désintégrer en amplitude au fil du temps car une certaine énergie est dissipée dans les composants car ils ne sont pas idéaux. Je vais plus en détail sur un tel circuit d'inductance et de condensateur ici .

Olin Lathrop
la source

Comme discuté dans les commentaires sur une autre réponse qui fait le même argument, vous pouvez vous décomposer en sommes infinies d'ondes carrées ou triangulaires. Mais le calcul ne sera pas aussi agréable, et c'est là la particularité d' entre en jeu .sin

Peter Cordes

Et BTW, le terme physique pour un oscillateur idéal avec aproportionnel à -xest un oscillateur harmonique simple , qui produit un mouvement harmonique simple. Ressorts, pendules (de petite amplitude donc sin(theta)~=theta), etc.

Peter Cordes

1

@Peter: Oui, je suis d'accord avec vos deux points. J'ai délibérément laissé de telles choses hors de la réponse pour rester simple et en termes plus simples. Quelqu'un qui demande ce qu'est une onde sinusoïdale n'est pas susceptible de comprendre les réponses avec beaucoup de mathématiques. Étant donné le niveau de la question, j'estimais que la simplicité de la réponse était plus importante que d'entrer dans tous les détails.

Olin Lathrop

D'accord, mais je ne pense pas que vous évitiez la tautologie (ou que vous fassiez un argument correct) si vous l'exprimez ainsi. La raison pour laquelle les ondes sinusoïdales sont la chose naturelle pour décomposer les signaux est un tas de mathématiques compliquées. C'est une chose utile à connaître et à signaler sur les signaux, et je suppose sur les ondes sinusoïdales, mais cela découle en quelque sorte d'autres facteurs, comme la dérivée sin / cos (même signal avec une phase différente). Vous pourriez peut-être dire que la décomposition en ondes sinusoïdales est naturelle parce que c'est la somme d'oscillateurs harmoniques simples, pour contourner le calcul et relier les deux parties de votre réponse.

Peter Cordes

1

@PeterCordes: le passage d'une onde sinusoïdale à travers n'importe quel filtre linéaire produira soit du courant continu, soit une onde de même forme et fréquence. Le passage de la plupart des formes d'ondes non sinusoïdales à travers la plupart des filtres linéaires donnera des résultats qui incluent des fréquences absentes de l'original. Si l'on considère un oscillateur comme un groupe de filtres configurés en anneau, les seules formes d'onde périodiques qu'un oscillateur peut prendre en charge sont celles qui, une fois traversées par tous les filtres, donneront la forme d'onde d'origine. Alors que certains filtres linéaires peuvent préserver certaines formes d'onde non sinusoïdales, ...

supercat

-2

Pensez à tout type de forme d'onde (carré, triangulaire, en dents de scie, impulsion) analogique ou numérique. Toutes les formes d'onde sont constituées d'un grand nombre de types d'ondes additionnées (avec différentes fréquences, amplitudes et phases). Ce type est connu comme l'onde sinusoïdale.

Yash Raj
la source

4

Vous pourriez tout aussi bien décomposer toutes les autres vagues en sommes d'ondes triangulaires ou en sommes d'ondes carrées. Le calcul ne serait pas aussi agréable, car sinc'est spécial . Mais pourquoi le péché est-il spécial? Vous n'évitez pas vraiment une tautologie.

Peter Cordes

2

@PeterCordes: La réponse devrait aller plus loin pour noter qu'une onde sinusoïdale est le seul type d'onde où le filtrage linéaire ne peut pas changer l'ensemble des fréquences présentes dans un signal traversé (sauf en éliminant autre chose que DC). Si on passe une onde carrée ou une onde triangulaire de période 3 à travers la fonction de filtre linéaire F (f (t)) = f (t-1) -f (t) + f (t + 1), le résultat sera un carré onde ou triangle de période 1 (3x la fréquence).

supercat

@supercat, votre filtre proposé ne donnera pas d'onde triangle / carré pour une entrée triangle / carré. Voir entrée et sortie .

Ruslan

@Ruslan: Désolé - j'aurais dû rendre les trois termes positifs en utilisant une période de 3; la formule que j'ai donnée aurait été correcte pour une période de 6. Dans les deux cas, elle additionne trois signaux dont la phase est décalée de 120 degrés. Un tel filtre ne conservera pas la forme de toutes les formes d'onde, mais il conservera la forme d'un certain nombre de formes d'onde, y compris les ondes triangulaires, les ondes carrées et les dents de scie.

supercat

Qu'est-ce qu'une onde sinusoïdale?

Réponses: