Pourquoi, dans un circuit passif avec une entrée sinusoïdale, toutes les tensions et tous les courants ont-ils le même comportement sinusoïdal que l'entrée?

Je sais que dans tout circuit composé d'éléments passifs linéaires et d'une entrée sinusoïdale, toutes les tensions et tous les courants traversant et traversant n'importe quel élément présenteront le même comportement sinusoïdal et la même fréquence que l'entrée; c'est ainsi que fonctionnent les filtres passifs. Mais je ne peux pas comprendre ou trouver une preuve concrète / simple pour laquelle cela se produit, sinon une simple observation.

J'ai épuisé ma cervelle et finalement j'ai trouvé une belle approche mathématique pour le prouver et j'ai décidé de répondre à ma propre question. Dans un tel circuit, la résolution de toute tension / courant à travers / à travers n'importe quel composant (je l'appellerai ) vous conduirait toujours à construire une équation différentielle toujours linéaire, avec des coefficients constants (en raison des propriétés linéaires des composants passifs) et non homogène (en raison de l'entrée sinusoïdale). Une telle équation différentielle prendra toujours cette forme: a d n$f$oùa. . . ksont des constantes (combinaisons d'inductance, résistance, etc.),nest l'ordre de l'équation différentielle (qui reflète le nombre d'éléments de stockage d'énergie dans le circuit), etCsin(ωt+θ)est une fonction sinusoïdale généralisée qui décrit l'entrée. Une solution générale à cette équation différentielle prendra toujours cette forme:f=

Cela n'est vrai que pour les circuits LTI (Linear Time-Invariant). Si vous avez un composant non idéal (et ils sont tous à un degré ou un autre), vous verrez des harmoniques de la fréquence d'entrée dans la sortie. Les inducteurs ont tendance à être les pires du lot, mais toutes les pièces passives ont un tel comportement. Par exemple, les condensateurs peuvent présenter un fort coefficient de tension et ne sont pas invariants dans le temps en raison de l'absorption diélectrique.

Pour une preuve mathématique simple (en supposant à peu près la 2e année universitaire en mathématiques) une preuve mathématique, vous pouvez lire ces notes du cours de Berkeley (EECS20N: Signals and Systems). Vous pouvez télécharger l'intégralité du texte ici .

Cela se produit parce qu'une onde sinusoïdale n'est qu'une ligne dans le spectre de fréquence et peu importe ce que vous en faites avec un filtre ou un amplificateur linéaire, tout ce qui se passe, c'est que la phase ou l'amplitude change.

S'il s'agissait d'une onde carrée (harmoniques infinies), l'application d'un filtre atténuerait ou atténuerait certaines fréquences plus que d'autres et l'onde carrée perdrait sa forme carrée reconnaissable.

Harmoniques à onde carrée: -

Source Gif

La raison fondamentale est que les équations constitutives des composants R, L et C idéaux sont des équations linéaires invariantes dans le temps impliquant uniquement des dérivées et des intégrales (les deux opérations linéaires) et que le sinus et le cosinus se transforment en d'autres sinus et cosinus lorsqu'ils agissent sur de tels opérateurs linéaires.

La dérivée et l'intégrale d'une fonction sinusoïdale est une autre fonction sinusoïdale de la même fréquence (elle ne peut changer qu'en amplitude et en phase). KCL et KVL ne peuvent conduire qu'à des sommes algébriques de telles fonctions sinusoïdales, et cette opération ne peut produire qu'une autre fonction sinusoïdale. Ainsi, au final, lorsque vous connectez R, L et C dans un réseau, une entrée sinusoïdale conduira toujours à une sortie sinusoïdale.

Voir mon autre réponse ici .

Tout cela est une conséquence directe de l'autosimilarité de la fonction exponentielle (liée aux sinus et cosinus par l'équation d'Euler). Vous voudrez peut-être lire le premier chapitre de Giorgi, La physique des vagues pour obtenir une explication complète à ce sujet.

$t=-\infty$$t=+\infty$$A \ x = \lambda \ x$$\lambda$est un scalaire complexe transportant des informations sur l'atténuation et le déphasage) sont appelés solutions caractéristiques, ou propres, ou propres des systèmes. Ils peuvent être utilisés pour construire une base orthogonale avec la propriété que toute autre fonction (bien comportée) peut être décomposée en une somme généralisée de ces briques élémentaires - et cela vous mènera directement au territoire de la série de Fourier, mais c'est une autre histoire).

Une explication concise est donnée dans la première réponse à cette question sur Math SE: Pourquoi utilisons-nous des fonctions trigonométriques dans les transformées de Fourier, et non d'autres fonctions périodiques?

$e^{iωx}$$S_h$$f(x)$$f(x−h)$$e^{iω(x−h)}=e^{−iωh} e^{iωx}$$x∈R$

Cela n'est vrai que lors de la restriction des éléments passifs à R, L, C et peut-être aux cristaux qui sont correctement entraînés - et même dans ce cas, il y a deux exceptions, voir ci-dessous. Les diodes intentionnelles et non intentionnelles, les varistances, les thermistances avec une masse thermique et d'autres éléments non linéaires peuvent rapidement introduire des distorsions dans une entrée sinusoïdale pure. Les cristaux saturés ou les filtres en céramique peuvent également se comporter de façon plutôt non linéaire. Si l'on inclut des éléments à deux bornes à résistance négative (tubes à décharge, diodes tunnel) dans la catégorie passive, il existe encore plus de possibilités.

Les exceptions:

Les pièces du monde réel ont tendance à avoir des imperfections qui les font se comporter un peu comme certains éléments non linéaires. Les résistances peuvent avoir un comportement "thermistance avec une masse thermique" et même "varistance". Les condensateurs peuvent avoir une dépendance à la tension dans leur valeur en raison d'effets piézoélectriques, de champs électriques produisant une force mécanique, d'effets chimiques (en électrolyse). De plus, certains effets de type électret semblent être documentés pour les condensateurs. Les joints métal sur métal peuvent développer un comportement de type diode. Les inducteurs peuvent devenir non linéaires par saturation du noyau, interaction du champ magnétique avec des objets métalliques à proximité, etc ...

Tous les composants résistifs transportant un courant présentent des comportements générateurs de bruit, dont les limites inférieures sont définies par la physique dure.

Gardez à l'esprit que tous les signaux répétitifs apparemment non sinusoïdaux de la vie réelle peuvent être parfaitement décrits comme une somme d'ondes sinusoïdales de fréquences et de phases variables.

La recherche du lien avec la nature vous fera tourner en rond: les ondes sinusoïdales sont l'ingrédient principal pour faire des cercles et des ovales et des choses rondes, selon les maths geeks (si vous voulez dessiner un cercle sur un ordinateur, vous utiliserez généralement soit le sinus / cosinus ou utiliser le théorème de Pythagore directement d'une certaine manière ...). La nature fait beaucoup de choses rondes (cheveux, tiges de plantes, cerises, taches de cerises, tornades, etc.) et garde une ample réserve d'ondes sinusoïdales à cet effet.

Un «circuit» est généralement considéré comme un réseau de composants, avec un port «entrée» et un port «sortie». Avec la théorie des réseaux, telle que la loi d'Ohm, vous pouvez dériver une équation, la «fonction de transfert», qui décrit la sortie en termes d'entrée. Avec les composants «linéaires», vous trouverez toujours une fonction de transfert «linéaire».

Décrivons certains composants linéaires avec des fonctions comme output = F(input), output2 = G(input2), etc. Ensuite , la combinaison de ces composants conduit à une fonction combinée comme output2 = G(F(input1)). Parce que les deux fonctions sont linéaires, donc de la forme y = a * x + b, alors ces combinaisons sont également linéaires.

Lors de l'application d'un signal d'entrée sinusoïdal au réseau linéaire, la sortie peut être amplifiée par le facteur a et décalée de la tension b. Avec des mathématiques complexes ou des équations différentielles, vous pouvez même obtenir un «déphasage», mais pas une fréquence différente, car la dérivée d'un sinus a la même fréquence.

Voulez-vous que ce soit encore plus formel?

Soit votre prémisse est fausse, soit vous n'avez pas correctement articulé les conditions aux limites.

Prenons un simple appareil passif comme une diode. Il présentera une caractéristique de transfert non linéaire résultant en une sortie non sinusoïdale pour un

Considérez également un circuit résonnant idéal (LC) avec une fonction de transfert résultant en une sortie nulle - donc non sinusoïdale.

Les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps (et les réseaux passifs sont généralement de ce type) sont des exponentielles complexes, et leurs superpositions réelles sont des sinoïdes de phase arbitraire.

Une fonction propre est une fonction qui ne changera que d'un facteur constant (dans ce cas, complexe) lorsqu'elle passera par un système. Les systèmes linéaires sont ceux où la sortie correspondant à la somme de plusieurs entrées correspond à la somme de la sortie des entrées individuelles, de sorte que vous pouvez toujours les analyser en exprimant leur entrée comme une somme pratique. Si cette somme peut être une somme exprimée sur une base de fonction propre orthogonale, les choses deviennent tellement plus faciles.

Bonjour analyse Fourier.