Résistance interne d'une batterie

J'essaie de comprendre où je me suis trompé sur le problème suivant:

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Les deux batteries sont identiques et chacune a une tension en circuit ouvert de 1,5 V. La lampe a une résistance de 5 lorsqu'elle est allumée. Avec l'interrupteur fermé, 2,5 V est mesuré à travers la lampe. Quelle est la résistance interne de chaque batterie?$\Omega$

(Problème 2.1 dans Agarwal et Lang, Fondements des circuits électroniques analogiques et numériques ). Notez la réponse imprimée au dos du livre: 0,5 .$\Omega$

Voici ma solution:

Étape 1

Utilisez la loi de l'élément pour trouver le courant, , à travers l'ampoule. v = i R → i 1 = ${i}_{1}$

$$v=iR \rightarrow {i}_{1} = \frac{v}{{R}_{bulb}}=\frac{2.5V}{5\Omega}=\frac{1}{2}A.$$ Étape 2

Modélisez la résistance interne de chaque batterie comme une résistance. Indiquez la résistance équivalente des deux résistances en série.

$${R}_{eq}={R}_{1}+{R}_{2}=2{R}_{n}$$ Étape 3

Selon la loi de tension de Kirchoff, la différence de potentiel entre les deux batteries doit être égale et opposée à la différence de potentiel à travers la lampe. Je combine la loi de l'élément avec l'expression ci-dessus de la manière suivante:

$$v={i}_{2}{R}_{eq} \rightarrow {R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{2}} (eqn. 1)$$ Étape 4

Selon la loi actuelle de Kirchoff, la somme des courants à n'importe quel nœud est nulle.

$${i}_{1}-{i}_{2}=0 \rightarrow {i}_{2}={i}_{1} (eqn.2)$$ Étape 5

Combinez des éqns. 1 & 2 pour trouver , la résistance interne d'une seule batterie. R n = ${R}_{n}$

$${R}_{n}=\frac{1}{2}\frac{v}{{i}_{1}}=2.5\Omega$$

Conclusion

Après avoir réfléchi à l'énoncé du problème, en particulier la partie tension en circuit ouvert, je sais que je commets une erreur logique. Cependant, je ne peux tout simplement pas le voir par moi-même. Où est-ce que je me suis trompé? Ne devrais-je pas imaginer que la résistance interne des batteries puisse être modélisée comme une résistance? Une approche énergie / puissance serait-elle mieux adaptée à ce problème?

Je pense que votre idée fausse se produit à l'étape 3:

Selon la loi de tension de Kirchoff, la différence de potentiel entre les deux batteries doit être égale et opposée à la différence de potentiel à travers la lampe. Je combine la loi de l'élément avec l'expression ci-dessus de la manière suivante [...]

Ce n'est pas vrai ou du moins pas assez précisément écrit. Vous devriez peut-être dessiner le circuit complet pour le rendre plus facile à comprendre:

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Appliquez maintenant la loi de tension:

$$V(BAT1) + (-I\times R1) + V(BAT2) + (-I\times R2) + (-I\times R(LAMP1)) = 0$$ $$2 V_{bat} - I\times 5\ \Omega = 2 I\times X$$ $$\frac{V_{bat}}{I} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$\frac{1,5\ V}{0,5\ A} - \frac{1}{2}\times 5\ \Omega = X$$ $$X = 0.5\ \Omega$$

J'ai omis le courant dans le voltmètre (supposé être idéal), donc pas besoin d'appliquer la loi du courant car un seul courant connu circule dans la boucle.

Tu l'as rendu trop compliqué. Le courant de la batterie est de 0,5 A, comme vous l'avez dit. Ce 0,5A provoque une chute de 0,5 V de la tension de la batterie en raison de la résistance série combinée des batteries. Nous pouvons simplement utiliser la loi d'Ohm. Vdrop = Ibatt * Rbatt.

Donc, Rbatt = 0,5 V / 0,5 A = 1 Ohm. Mais c'est la résistance série combinée. Ainsi, chaque batterie contribue à 0,5 Ohms au total.

L'erreur dans l'analyse est dans l'équation 1. L'équation correcte est,

$V_{Bat1}+V_{Bat2}-i_2R_{eq}=v$

D'un côté, la résistance interne résulte de la mobilité de l'électrolyte, de la concentration, de la surface des électrodes et de la longueur entre les électrodes. La tension survient en raison des potentiels redox des électrodes et il y a la neuvième équation pour la concentration.