Bruit de courant thermique infini dans un fil?

La densité du bruit thermique peut s'écrire:

Cela semble un peu moche, mais peut-être que si nous réfléchissons un peu plus à ce qu'est un fil à résistance nulle, nous pouvons comprendre pourquoi nous n'obtiendrons pas quelque chose de physiquement irréaliste.

Supraconducteurs

Une façon d'obtenir une résistance nulle serait d'utiliser des supraconducteurs. Ce sont des matériaux très étranges - ils ont d'énormes effets quantiques, mais la théorie du bruit de Johnson-Nyquist que vous utilisez dans votre question est semi-classique, nous pouvons donc raisonnablement nous attendre à ce que cela ne fonctionne pas lorsque beaucoup de choses quantiques se produisent.

En fait, dans un supraconducteur, il y a deux «fluides» conducteurs partageant le même espace. L'un, le fluide normal, est fait d'électrons et agit comme un électrons dans un matériau normal. Cela aura des fluctuations thermiques comme celles qui provoquent le bruit de Johnson Nyquist. L'autre, appelé superfluide, est constitué de paires de tonneaux et a une résistance nulle. Ainsi, il court-circuitera tout courant ou tension externe (ce qui fait des supraconducteurs des conducteurs parfaits). Mais cela raccourcira également la tension de bruit du fluide normal. Chaque fluctuation thermique du matériau sera immédiatement et complètement annulée par un mouvement dans le superfluide, il n'y aura donc pas de bruit Johnson-Nyquist. Il peut bien y avoir d'autres bruits, mais c'est un tout autre sujet.

Pas supraconducteurs

Cela nous laisse fabriquer un fil à résistance nulle à partir de matériaux normaux, ce qui est bien sûr impossible. Le problème n'est donc pas que le courant est infini, c'est qu'il tend vers l'infini lorsque l'on réduit la résistance. Pour voir si cela a du sens, nous devons réfléchir à ce que signifie vraiment réduire la résistance à zéro.

La résistance d'un bloc de matériau est une constante dépendant du matériau multipliée par la longueur divisée par la section transversale. Les deux façons d'obtenir une résistance nulle sont alors:

1. Pour augmenter la zone à l'infini. Le fait d'avoir un courant de bruit infini dans une zone infinie semble raisonnable, la densité de courant est la même que pour un bloc de matériau fini.

2. Pour réduire la longueur à zéro. Celui-ci est un peu plus délicat et je ne suis pas sûr que ma solution soit correcte. Mais je pense que cela se résume à une question de géométrie. Si la circonférence de la boucle tend vers zéro, alors l'épaisseur du fil doit également tendre vers zéro, ou ce n'est plus une boucle de fil. Cela signifie qu'il existe une résistance minimale, où vous pouvez raisonnablement appliquer le théorème de Johnson-Nyquist. Au-delà de cela, vous avez une plaque de cuivre avec un trou dedans, et vous devrez analyser cela différemment. Il y a tout un sous-domaine de la physique appelé électrodynamique fluctuante et vous trouverez probablement la réponse détaillée quelque part là-dedans.

Cela semble étrange! Je comprends que la puissance de bruit finale ne dépend pas de la résistance, mais la densité de bruit infinie semble toujours absurde.

Non, ce n'est ni étrange ni absurde parce que vous divisez 0 par 0:

Vous obtenez la puissance du courant en quadrature et en multipliant par R, vous obtenez donc un R au numérateur et un au dénominateur et les deux s'annulent:

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
qui est indépendant de R.

Ainsi, même si la densité de bruit actuelle est infinie, la puissance de bruit ne l'est pas.

une densité de bruit toujours infinie semble absurde.

Vous supposez $R=0$, ce qui est tout aussi absurde. Mais oui, si vous avez la moindre tension dans un système sans résistance, vous obtenez un courant infini. Ohm.

Cependant, la formule du bruit thermique est en fait dérivée du cas de tension (c'est-à-dire que vous obtenez la fluctuation du niveau d'énergie des charges (électrons), et celles-ci sont observables sous forme de fluctuation de tension). Donc, dans un supraconducteur, cette façon de voir le bruit thermique tombe en panne.

Cela semble étrange. En effet c'est faux! Jack B a fait le point crucial : le bruit de Johnson-Nyqvist est un modèle semi-classique, c'est-à-dire une approximation simplifiée qui fonctionne bien dans la limite des systèmes à grande échelle (c'est -à- dire quelque chose de plus que quelques centaines d'atomes) à haute température (qui en physique à l'état solide signifie à peu près, non refroidi à l'hélium liquide ). C'est dans ces conditions que le comportement mesurable «paraît classique», car les fluctuations thermiques détruisent la cohérence de phase qui serait nécessaire pour que les phénomènes quantiques macroscopiques comme la supraconductivité ou l'effet hall quantique se manifestent. Il se trouve qu'en électronique, nous travaillons fondamentalement toujours dans ce régime classique pour des raisons pratiques évidentes.

Mais les mêmes fluctuations thermiques (collisions de phonons) provoquent inévitablement également une résistivité non nulle. Vous ne pouvez donc que prendre la limite$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$ soit en faisant la section transversale $A$ infiniment grand (dans ce cas, comme l'a dit Jack, il est tout à fait raisonnable que les courants deviennent aussi infinis, tout comme la masse et tout le reste) ou en réduisant la longueur $\ell$ à pratiquement zéro, auquel cas vous n'avez pas le système à grande échelle qui est nécessaire pour la description semi-classique.

Lisez la catastrophe ultraviolette , qui est un paradoxe essentiellement analogue en termes d'énergie de rayonnement et était en fait l'une des incitations pour développer la théorie de la mécanique quantique en premier lieu, étant donné que la physique classique a évidemment donné de faux résultats.