Preuve que chaque circuit avec diodes a exactement une solution

Prenons un circuit électronique composé de composants linéaires et d'un certain nombre de diodes idéales. Par "idéal", je veux dire qu'ils peuvent être soit polarisés en sens (c'est-à-dire et ) soit polarisés en sens inverse (c'est-à-dire et ).i D ≥ 0 v D ≤ 0 i D = $v_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$i_D=0$

Ces circuits peuvent être calculés en déclarant arbitrairement chaque diode à ou à inverse, et en définissant pour chaque diode à et pour chaque diode à inverse. Après avoir calculé le circuit linéaire résultant, nous devons vérifier si à chaque diode polarisée en sens et à chaque diode polarisée en inverse est satisfaite. Si oui, c'est notre solution. Sinon, nous devons essayer un autre ensemble de choix pour les diodes. Ainsi, pour diodes, nous pouvons calculer le circuit en calculant au plus circuits linéaires (généralement beaucoup moins).i D = 0 i D ≥ 0 v D ≤ 0 N 2 $v_D=0$$i_D=0$$i_D\geq 0$$v_D\leq 0$$N$$2^N$

Pourquoi ça marche? En d'autres termes, pourquoi y a-t-il toujours un choix qui mène à une solution valide et (plus intéressant) pourquoi n'y a-t-il jamais deux choix qui mènent tous les deux à des solutions valides?

Il devrait être possible de prouver qu'au même niveau de rigueur avec lequel, par exemple, le théorème de Thevenin est prouvé dans les manuels.

Un lien vers une preuve dans la littérature serait également une réponse acceptable.

Je suppose que c'est pour un problème artificiel où il y a un circuit avec des passifs connus et certains I et V donnés et des points marqués pour les diodes de direction inconnue. Ma réponse est:

Espérons que les créateurs des problèmes se soient limités aux cas où leurs hypothèses conduisent à leurs conclusions.

Il pourrait être théoriquement insoluble en ayant une diode étrangère; envisager de mettre à la terre les deux côtés d'une diode. Il pourrait y avoir des cas non triviaux utilisant des motifs virtuels ou d'autres tensions égales qui pourraient être difficiles à repérer.

Il pourrait sûrement exister des circuits valides qui ne diffèrent que par la direction d'une diode pour toute valeur de "circuit valide" qui comprend des diodes. Envisagez de modéliser les commutateurs à l'aide de ces règles de diode idéales, comment pouvez-vous décider si un commutateur devait être activé ou désactivé? Espérons que les courants et tensions donnés donnent suffisamment d'indices. Et j'espère qu'ils ne vous ont pas donné d'indices contradictoires.

Cela déplace la question à "Comment savoir si une instance possède suffisamment d'informations pour être unique?" Je me souviens que la réponse était quelque chose comme si vous aviez besoin d'une donnée indépendante pour chaque inconnu indépendant, mais je suis sûr que je ne pouvais pas le prouver ou trouver un test général pour l'indépendance de l'une ou de l'autre.

Pour les diodes idéales, il peut y avoir plusieurs solutions.

Contre-exemple trivial: Prenez n'importe quel circuit contenant des diodes idéales que vous avez résolu. Remplacez maintenant l'une des diodes idéales par, si elle est conductrice vers l'avant, une paire de diodes connectées en parallèle, ou si elle est polarisée en inverse, une paire en série, en conservant l'orientation dans les deux cas. Comment résolvez-vous la répartition du courant ou de la tension entre les deux? Vous ne pouvez pas, le modèle de diode idéal conduit à une coque convexe de solutions également valables.

Je n'ai pas de preuve rigoureuse, mais l'idée générale est que tant que les composants d'un circuit ont des courbes VI qui sont des fonctions à valeur unique (cela inclut les diodes ainsi que les composants linéaires), il ne peut y avoir qu'une seule solution pour l'ensemble du circuit.

Je pense que c'est assez simple:

vous pouvez traiter les diodes idéales polarisées en direct comme des courts-circuits et les diodes idéales polarisées en sens inverse comme des circuits ouverts. Donc, dans tous les cas, vous obtenez des circuits avec uniquement des composants linéaires (car toutes les diodes se résolvent en circuits ouverts ou en courts-circuits) et ces circuits linéaires sont connus pour avoir exactement une solution.

À partir de l'entrée des lignes de charge de Wikipedia

Il n'y a qu'une seule solution unique en raison de la nature du problème. Ceci est mieux illustré graphiquement, sous la forme de lignes de charge. La diode a une équation qui décrit la relation entre le courant qui la traverse (axe y) et la tension qui la traverse (axe x). Ici, l'axe x est la tension aux bornes de la diode.

Regardez ce qui arrive au courant aux bornes de la résistance lorsque la tension aux bornes de la diode change. Si la tension est Vdd aux bornes de la diode, il n'y aurait pas de chute de tension aux bornes de la résistance, car la tension aux bornes de la résistance et de la diode doit correspondre à Vdd), et il n'y aurait donc aucun courant nul aux bornes de la résistance (loi d'Ohm). De même, s'il y avait une chute de tension nulle à travers la diode, il y aurait Vdd à travers la résistance, et le courant à travers la résistance serait Vdd / R.

Maintenant, nous savons que ce sont des situations irréalistes, car le courant dans la diode et la résistance doit être égal. Étant donné l'équation pour la résistance (linéaire) et l'équation pour la diode (non linéaire, mais monotone croissante), nous pouvons voir sur le graphique que cela ne peut se produire qu'en un point unique, l'intersection des deux courbes.

Ainsi, la solution simultanée de trois équations (la résistance, la diode et le fait que les deux courants doivent être égaux) donne une solution unique.

Cette méthode fonctionnera pour tous les éléments du circuit.

C'est un peu différent pour les diodes à courant inverse, car le courant de résistance va dans l'autre sens, et un quadrant doit être ajouté au graphique.

La «preuve» de cela ne fonctionnerait que pour certains circuits. Si vous avez un gain et que les seuls éléments non linéaires sont les diodes elles-mêmes, vous pouvez avoir plusieurs états possibles. Par exemple (peut ne pas être l'exemple le plus simple possible).

Ce circuit fonctionnera avec un ampli-op parfaitement linéaire idéal et la sortie ne s'éteindra jamais à l'infini ou satura, mais avec 0V, il peut être d'environ +6 ou d'environ -6 à la sortie, avec une paire ou l'autre de diodes conductrices . Il fonctionnera également avec des diodes `` presque idéales '' qui ont une chute vers l'avant lorsqu'elles sont allumées et aucune autre non-réalité.

(et bien sûr les diodes tunnel sont un cas particulier avec leur courbe IV non monotone).

La preuve ne devrait probablement nécessiter que des éléments passifs tels que des résistances (pas de sources de courant ou de tension dépendantes). Ou peut-être seulement avec des diodes idéales avec 0V Vf.

Ce n'est pas une preuve complète, mais peut-être que cela vous mettra sur la bonne voie:

S'il existe plusieurs solutions, il y a au moins une diode qui peut être polarisée en direct ou en inverse. Prenons une telle diode. Dans une solution donnée, elle est biaisée en avant ou en inverse. Définissons les tensions à ses bornes, Va et Vb, de sorte que si elle est polarisée en sens direct, Va> = Vb, et si elle est polarisée en sens inverse, Vb> = Va. Dans le cas de polarisation directe ou inverse, le reste du Circuit (RotC) produit ces tensions aux bornes de la diode.

Puisque vous avez déclaré que le circuit est composé d'éléments linéaires et de diodes, soit le RotC est un réseau purement linéaire, soit il comprend plus de diodes.

Si le RotC est un réseau purement linéaire, il n'a qu'une seule solution, et la seule solution aux contraintes Va> = Vb et Vb> = Va est que Va = Vb.

Si le RotC comprend plus de diodes avec plusieurs solutions possibles, envisagez la diode suivante. Encore une fois, il est soit connecté à un réseau linéaire, soit à un réseau avec plus de diodes avec plusieurs solutions possibles.

Si nous supposons qu'il y a un nombre fini de diodes dans le circuit ...