Comment utiliser la superposition pour résoudre un circuit?

Oui, c'est une question pédagogique. En répondant à une autre question récente, je voulais renvoyer l'OP à des instructions concises pour utiliser la superposition pour résoudre des circuits. J'ai trouvé que toutes les ressources en ligne faciles à trouver étaient quelque peu déficientes. En règle générale, ils ne savaient pas exactement à quels types de circuits la superposition s'applique, ni quant à la méthode réelle pour appliquer le théorème de superposition à un problème de circuit. Donc,

Quels types de circuits peuvent être résolus par superposition?

Comment les différents types de sources sont-ils traités lors de la résolution par superposition?

Quelles sont les étapes pour résoudre un circuit en utilisant le théorème de superposition?

circuit-analysis Le photon
la source

Puisqu'il s'agit d'avoir un endroit vers lequel pointer, que diriez-vous d'une réponse wiki communautaire afin qu'elle puisse être modifiée à cet effet?

homme des cavernes

Réponses:

Théorème de superposition
" Le théorème de superposition pour les circuits électriques indique que pour un système linéaire, la réponse (tension ou courant) dans n'importe quelle branche d'un circuit linéaire bilatéral ayant plus d'une source indépendante est égale à la somme algébrique des réponses provoquées par chaque source indépendante agissant seule , où toutes les autres sources indépendantes sont remplacées par leurs impédances internes . "

Quels types de circuits peuvent être résolus par superposition?

Les circuits constitués de l'un des composants suivants peuvent être résolus à l'aide du théorème de superposition

Sources indépendantes
Éléments passifs linéaires - Résistance, condensateur et inductance
Transformateur
Sources dépendantes linéaires

Quelles sont les étapes pour résoudre un circuit en utilisant le théorème de superposition?

Suivez l'algorithme:

Réponse = 0;
Sélectionnez la première source indépendante.
Remplacez toutes les sources indépendantes dans le circuit d'origine à l'exception de la source sélectionnée avec son impédance interne.
Calculez la quantité (tension ou courant) d'intérêt et ajoutez à la réponse.
Quittez s'il s'agit de la dernière source indépendante. Sinon, passez à l'étape 3 en sélectionnant la source suivante.

L'impédance interne d'une source de tension est nulle et celle d'une source de courant est infinie. Remplacez donc la source de tension par un court-circuit et la source de courant par un circuit ouvert pendant l'exécution de l'étape 3 de l'algorithme ci-dessus.

Comment les différents types de sources sont-ils traités lors de la résolution par superposition?

Les sources indépendantes doivent être traitées comme expliqué ci-dessus.

En cas de sources dépendantes, ne les touchez pas.

nidhin
la source

La superposition ne s'applique que lorsque vous avez un système purement linéaire, c'est-à-dire:

\begin{aligned} F (x_{1} + x_{2}) & = F (x_{1}) + F (x_{2}) \\ F (a x) & = a F (x) \end{aligned}

$\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(a x) &= a F(x) \end{align*}$

Dans le contexte de l'analyse de circuit, le circuit doit être composé d'éléments linéaires (condensateurs, inductances, transformateurs linéaires et résistances) avec N sources indépendantes, et ce que vous résolvez doit être soit des tensions soit des courants. Notez que vous pouvez prendre une solution superposée à la tension / courant pour trouver d'autres quantités qui ne sont pas linéaires (ex. Puissance dissipée dans une résistance), mais vous ne pouvez pas superposer (ajouter) des quantités non linéaires pour trouver la solution pour une plus grande système.

$i$

\begin{aligned} U = J R = R (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) = \sum_{i = 1}^{N} R J_{i} = \sum_{i = 1}^{N} U_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} U = J R = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^N R J_i = \sum_{i=1}^N U_i \end{align*}$

Je peux donc trouver la tension aux bornes d'une résistance en résumant la contribution actuelle de chaque source indépendamment de toute autre source. De même, pour trouver le courant traversant la résistance:

\begin{aligned} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i = 1}^{N} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{U_{i}}{R} = \sum_{i = 1}^{N} J_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i}{R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}$

Cependant, si je commence à regarder la puissance, la superposition ne s'applique plus:

\begin{aligned} P = J U = (\sum_{i = 1}^{N} J_{i}) (\sum_{j = 1}^{N} U_{j}) \neq \sum_{i = 1}^{N} J_{i} U_{i} = \sum_{i = 1}^{N} P_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} P = J U = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1}^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}$

Le processus général de résolution d'un circuit par superposition est le suivant:

$i$ $F_i$
$F_i$

Exemple 1

Prenez ce circuit avec deux sources:

schématique

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Je veux résoudre le courant J passant par R1.

Choisissez V1 comme source 1 et I1 comme source 2.

$J_1$

schématique

^{simuler ce circuit}

$J_1 = 0$

$J_2$

schématique

^{simuler ce circuit}

$J_2 = I_1$

\begin{aligned} J = J_{1} + J_{2} = 0 + I_{1} = I_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}$

Exemple 2

schématique

^{simuler ce circuit}

$J$

\begin{aligned} J_{1} & = - \frac{V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J_{2} & = \frac{V_{2}}{R_{2} + R_{1} + R_{4} + R_{5}} \\ J_{3} & = - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{4} + R_{2} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{align*}$

\begin{aligned} J & = J_{1} + J_{2} + J_{3} = \frac{V_{2} - V_{1}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} - I_{1} \frac{R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

Le pouvoir de superposition vient de poser la question "et si je veux ajouter / supprimer une source?" Dis, je veux ajouter une source actuelle I2:

schématique

^{simuler ce circuit}

\begin{aligned} J_{4} & = I_{2} \frac{R_{1} + R_{2} + R_{5}}{R_{1} + R_{2} + R_{5} + R_{4}} \\ J & = \sum_{i = 1}^{4} J_{i} = \frac{(V_{2} - V_{1}) - I_{1} (R_{2} + R_{5}) + I_{2} (R_{1} + R_{2} + R_{5})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5}} \end{aligned}

$\begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}$

helloworld922
la source

J'ai quelques commentaires qui, je l'espère, seront utiles: 1. Je trouve que l'utilisation de U et J est quelque peu déroutante, V et I sont meilleurs; 2. La première équation pour U ne doit pas être une somme, car elle concerne uniquement la ième source; 3. Les autres sommations devraient, je crois, être tirées de i = 1 à N, et non de i à N; 4. La superposition dans la théorie des circuits n'est utilisée que pour le courant et la tension, je déplacerais donc la discussion sur la puissance plus loin dans le texte; 5. Dans l'exemple suivant le simple de I1 et R1, J3 = -I1 (...) ne devrait-il pas, car I1 agit dans le sens opposé à J3?

Chu

I_{3} = I_{1} \cdot (blah)

$I_3 = I_1 \cdot (\textrm{blah})$