Pourquoi le crénelage du bruit à large bande ne s'accumule-t-il pas dans la bande d'échantillonnage?

J'ai récemment construit une simulation pour étudier l'échantillonnage, les effets d'alias et les effets des filtres anti-alias sur le signal échantillonné.

Pour les fréquences fondamentales au-dessus de la bande d'échantillonnage, il est évident que l'on voit des «imposteurs» dans le signal échantillonné. En utilisant un filtre anti-crénelage, je peux éliminer les imposteurs.

Mais si j'impose plutôt un signal de bruit à large bande (en fait du bruit blanc) dans l'échantillonneur, cela ne fait pas beaucoup de différence que le filtre anti-aliasing soit présent ou non. Le bruit de crête à crête est le même dans les deux cas. Bien sûr, la bande passante du bruit a changé.

Mais en outre, je m'attendrais à ce que le bruit large bande (imposteur) en dehors de la bande d'échantillonnage soit superposé au bruit large bande qui est véritablement transmis dans la bande d'échantillonnage, s'accumulant ainsi avec un niveau de crête à crête plus grand.

Pourquoi cela ne se produit-il pas?

Je dois mentionner que mon pas de temps de simulation est dans le MHz et mon système à l'étude dans la gamme 1 kHz. Le système est donc pratiquement dans un monde continu.

noise sampling active-filter docscience
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C'est une question fantastique à laquelle je me suis toujours posé la question ...

Matt Young

Si vous mesurez l'amplitude du bruit sur une lunette, quelle amplitude voyez-vous (a) avant et (b) après le filtre AA?

Brian Drummond

@BrianDrummond Cette expérience ne répond pas nécessairement au point de ma question. Même une portée numérique sur-échantillonne considérablement et possède ses propres filtres anti-aliasing intégrés. La portée est donc pratiquement «continue» et les effets de l'échantillonnage ne sont pas pris en compte.

docscience

Pourquoi dites-vous que le filtre AA ne fait aucune différence? Je trouve plus facile de penser à la sortie crête à crête de l'échantillonneur mais cela fonctionne aussi pour RMS. Si vous entrez du bruit à large bande de 1 MHz BW et 1 V pk-pk directement dans votre échantillonneur à 2 KHz, la sortie de l'échantillonneur sera de 1 v pk-pk. Si vous ajoutez maintenant le filtre AA (mur de briques 1KHz BW) et que vous l'introduisez dans l'échantillonneur, la tension d'entrée sera ~ 30mV pk-pk (30dB att) et la sortie de l'échantillonneur sera maintenant de 30mv pp toujours avec 500Hz BW. Le bruit au-dessus de Nyquist a été aliasé dans la bande de sortie. Kevin

Kevin White

Réponses:

Vous avez raison: après échantillonnage, les composantes de bruit aliasées s'accumulent dans la bande de fréquences en dessous de la fréquence de Nyquist. La question est de savoir exactement ce qui s’empile et quelles en sont les conséquences.

Dans ce qui suit, je suppose que nous traitons du bruit aléatoire modélisé comme un processus aléatoire stationnaire au sens large (WSS), c'est-à-dire un processus aléatoire pour lequel nous pouvons définir un spectre de puissance. Si est le processus de bruit et est le processus de bruit échantillonné (avec la période d'échantillonnage ), alors le spectre de puissance de est une version repliée du spectre de puissance de : $N(t)$ $R_k= N(kT)$ $T$ $R_k$ $N(t)$

\begin{matrix} (1) & S_{R} (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} S_{N} (f - k f_{s}) \end{matrix}

$S_R(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}S_N(f-kf_s)\tag{1}$

où est la fréquence d'échantillonnage. Bien sûr, si est limité en bande (ce qui est toujours le cas), alors seulement un nombre fini de spectres de puissance décalés de s'additionnent dans la bande d'intérêt . $f_s=1/T$ $N(t)$ $N(t)$ $[0,f_s/2]$

La puissance de bruit est donnée par l'intégrale du spectre de puissance respectif. Dans le cas de nous devons intégrer sur toute la largeur de bande de , alors que dans le cas du bruit échantillonné nous devons intégrer dans la bande . De (1), il devient clair que dans les deux cas, nous obtenons la même puissance car soit nous intégrons le spectre de puissance d'origine , soit nous intégrons une version aliasée (c'est-à-dire empilée) dans la bande $N(t)$ $N(t)$ $R_k$ $[0,f_s/2]$ $S_N(f)$ . $[0,f_s/2]$

Par conséquent, la puissance de bruit ne change pas après l'échantillonnage, quelle que soit la fréquence d'échantillonnage. Le bruit échantillonné a la même puissance que le bruit d'origine en temps continu.

Ainsi, la puissance du bruit échantillonné ne change que si vous modifiez la puissance du bruit en temps continu, et cela peut être fait par le filtre anti-aliasing, car le filtre réduit la bande passante du bruit et, par conséquent, la puissance du bruit. Notez que regarder uniquement la valeur crête à crête ne dit pas grand-chose, car vous devez tenir compte de la puissance.

Référence:

EA Lee, DG Messerschmitt: Digital Communication , 2e éd., Section 3.2.5 (p. 64)

Matt L.
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L'énergie représentée par le signal échantillonné n'est liée qu'à la PDF (fonction de densité de probabilité) du signal d'entrée et à la fréquence d'échantillonnage. La bande passante réelle du signal d'entrée n'affecte pas cela.

En d'autres termes, lorsque vous sous-échantillonnez un signal à large bande passante, vous obtenez un ensemble d'échantillons qui ont le même PDF que le signal large bande d'origine, mais ces échantillons n'ont qu'une bande passante effective de Fs / 2. L'énergie «excédentaire» en dehors de cette bande passante n'a tout simplement jamais été capturée par le processus d'échantillonnage.

Si vous doublez la fréquence d'échantillonnage, vous "capturez" deux fois plus d'énergie.

Dave Tweed
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Êtes-vous en train de dire que pour une puissance de bruit d'entrée donnée, l'augmentation de la fréquence d'échantillonnage augmente la puissance de bruit du bruit échantillonné?

Matt L.

Oui, tant que la bande passante de bruit est toujours supérieure ou égale à la nouvelle bande passante d'échantillonnage.

Dave Tweed

Ce n'est pas le cas. Si vous modélisez le bruit comme un processus aléatoire stationnaire (au sens large), le bruit échantillonné a la même puissance que le processus de bruit en temps continu d'origine, quelle que soit la fréquence d'échantillonnage.

Matt L.

@MattL .: Sur quoi basez-vous cette affirmation? Vous devriez peut-être expliquer plus en détail dans une réponse séparée.

Dave Tweed

OK, je rédigerai une réponse dès que j'aurai plus de temps; pourrait prendre jusqu'à demain cependant.

Matt L.