Quelle est la différence entre virgule et plus dans l'équation de Bellman?

Équation de Bellman:

$V(x) = max \{F(x,y)+ \beta V(y)\}$

$V(x) = max \{F(x,y), \beta V(y)\}$

Quand utiliser le plus et quand utiliser la virgule?

Pourriez-vous me donner un exemple pour expliquer une telle différence?

Merci beaucoup !

Vous devez faire attention à la façon dont vous avez écrit vos deux équations car les opérateurs sont différents. Dans la première équation, vous maximisez une fonction objectif sur un ensemble, ce qui signifie que vous recherchez la meilleure valeur de étant donné que appartient à un ensemble connu. Vous n'avez pas défini cet ensemble. Dans le second cas, vous choisissez le maximum parmi deux valeurs. Contrairement à la première équation, est prédéfini et n’est pas un paramètre à trouver étant donné vos notations.$\max$$y$$y$$y$

Si je fais abstraction des erreurs de notation, je pense que vous voulez un exemple pour comprendre la différence entre un problème classique de consommation de gâteau (votre première équation) et un problème de règle d’arrêt (probablement votre deuxième équation).

Considérez le cadre suivant. Le temps est discret. Il y a un bien dans l'économie. Nous nous intéressons au problème du consommateur. À chaque période , le consommateur a accès à un stock de produits . Elle fait face à un problème d'économie intertemporelle standard elle doit décider combien consommer, , et combien économiser pour les prochaines périodes, . Le consommateur bénéficie d'un utilitaire de flux et actualise sa consommation future avec un facteur . Pour fermer le modèle, une technologie d’économie doit être définie. On peut considérer deux cas différents:$t$$x_t$$c_t$$x_{t+1}$$u(c_t)$$\beta$

(i) Il y a un taux d'intérêt . Le consommateur peut librement retirer tout montant du compte d’épargne. (ii) Il y a un taux d'intérêt . Le consommateur ne peut toutefois pas retirer une quantité de bien sans fermer le compte d'épargne.$r$$r$

Écrivons le problème d'optimisation dans les deux cas:

(i)

$$V(x_t)=\underset{0\leq x_{t+1}\leq (1+r)x_t}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$$

(ii) La consommation est égale à . Nous pouvons faire une analogie avec ce que vous avez écrit. Mes et sont vos et , et . Dans le premier cas, le consommateur doit choisir le montant à enregistrer dans l'intervalle . Dans le second cas, elle ne peut choisir que de continuer à enregistrer, , ou de fermer le compte, . En normalisant

$$V(x_t)=\underset{x_{t+1}= (1+r)x_t \text{ or } 0}{\max} \{u((1+r)x_t-x_{t+1})+\beta V(x_{t+1})\}$$ $c_t$$(1+r)x_t-x_{t+1}$$x_t$$x_{t+1}$$x$$y$$F(x,y)=u((1+r)x-y)$$x_{t+1}$$(0,(1+r)x_t)$$x_{t+1}=(1+r)x_t$$x_{t+1}=0$$u(0)=0$, le second cas peut écrire:

(ii)

$$V(x_t)=\max \{u((1+r)x_t),\beta V((1+r)x_t)\}$$

Dans le premier problème, le consommateur mange une part du gâteau (qui augmente à un taux ) et conserve le reste pour les périodes suivantes afin de maximiser son utilité inter-temporelle. Dans le deuxième problème, le consommateur doit décider quand manger entièrement le gâteau (en croissance), qui définit la règle d’arrêt.$r$