Dans l'algorithme SVM, pourquoi le vecteur w est orthogonal à l'hyperplan de séparation?

Je suis un débutant en Machine Learning. Dans SVM, l'hyperplan de séparation est défini comme . Pourquoi dit-on vecteur w orthogonal à l'hyperplan de séparation?$y = w^T x + b$$w$

Géométriquement, le vecteur w est dirigé orthogonal à la ligne définie par . Cela peut être compris comme suit:$w^{T} x = b$

Prenez d'abord . Maintenant, il est clair que tous les vecteurs, x , avec un produit intérieur disparaissant avec w satisfont cette équation, c'est-à-dire que tous les vecteurs orthogonaux à w satisfont cette équation.$b = 0$$x$$w$

Maintenant, déplacez l'hyperplan loin de l'origine sur un vecteur a. L'équation pour le plan devient maintenant: , c'est-à-dire que pour le décalage b = a T w , qui est la projection du vecteur a sur le vecteur w .$(x − a)^{T} w = 0$$b = a^{T} w$$a$$w$

Sans perte de généralité, nous pouvons donc choisir une perpendiculaire au plan, auquel cas la longueur qui représente la distance orthogonale la plus courte entre l'origine et l'hyperplan.$\vert\vert a \vert\vert = \vert b \vert /\vert\vert w\vert\vert$

Par conséquent, le vecteur est dit orthogonal à l'hyperplan de séparation.$w$

La raison pour laquelle est normal à l'hyperplan est parce que nous le définissons de cette façon:$w$

$P_0$$P_0 = x_0, y_0, z_0$$(0,0,0)$$<x_0,y_0,z_0>$$P (x,y,z)$$P$$P_0$

$\hat{n}$

$w^Tx + b = 0$$x_a$$x_b$

$w^T.(x_a - x_b) = 0$$x_a - x_b$$x_b$$x_a$$w^T.(x_a - x_b)$$w^T$$x_a - x_b$

En utilisant la définition algébrique d'un vecteur orthogonal à un hyperplan:

$\forall \ x_1, x_2$