Ce polytope «d'emballage de sous-groupe» est-il intégral?

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Soit un groupe abélien fini, et soit P le polytope dans R Γ défini comme étant les points x satisfaisant les inégalités suivantes:ΓPRΓx

gGxg|G|GΓxg0gΓ

signifie que G est un sous-groupe de Γ . P est-il intégral? Si oui, peut-on caractériser ses sommets?GΓGΓP


Ma question s'est posée à l'origine avec , où quelques petits exemples ( n = 2 , 3 ) suggèrent que la réponse est "oui" et "peut-être, mais ce n'est pas simple". J'ai aussi essayé le groupe cyclique sur 9 et 10 éléments, ainsi que F 2 3 , là où le polytope fait partie intégrante. Le polytope n'est pas intégral lorsque Γ est l'un de S 3 , D 4 et D 5 , donc l'abélianité est apparemment essentielle.Γ=F2nn=2,3F32ΓS3D4D5

Je dois mentionner que si vous écrivez le premier ensemble d'équations comme , alors A n'est pas nécessairement totalement unimodulaire (ce qui impliquerait que le polytope est intégral). Lorsque Γ = F 3 2 , vous pouvez choisir trois g linéairement indépendants et prendre les trois G répartis sur chaque paire des éléments sélectionnés g . La sous-matrice résultante est [ 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ] jusqu'à la permutation, et a donc un déterminant ± 2 .AxbAΓ=F23gGg

[011101110]
±2

Il est facile (si fastidieux) de caractériser les sommets des groupes d'ordre premier et d'observer qu'ils sont intégraux. Je suis presque sûr que cela peut être étendu aux groupes cycliques avec une puissance de premier ordre. Je ne sais pas ce qui se passe lors de la prise de produits.

Ce système n'est pas sans rappeler ceux qui définissent les polymatroïdes , mais plutôt qu'une fonction d'ensemble sous-modulaire, les contraintes sont une «fonction de sous-groupe» que je soupçonne d'être «sous-modulaire» une fois définie de la bonne façon. Pourtant, les techniques pour montrer que certains polymatroïdes sont intégraux pourraient fonctionner ici aussi, mais je ne vois pas comment.

Γ=F2ngxgxg=1gxg=1χS(g)χSSSSxg=0

Andrew Morgan
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1
F2nx10000xe2
1
xx
Oui, c'est une question très intéressante et curieuse. (Si cela ne vous dérange pas de partager) Y avait-il une motivation pour regarder ces polytopes particuliers? Ou juste quelque chose qui est tombé par hasard?
John Machacek
F2n
xiG

Réponses:

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Andrew (le demandeur) et moi en avions discuté par e-mail, et nous avons montré que la conjecture était fausse. Le polytope n'est pas intégral pour les groupes abéliens, pas même pour les groupes cycliques.

Du côté positif.

pkqpqkN

En effet, la famille de sous-groupes est une union de deux familles laminaires.

2×3×5=30

30

x0=1/2x2=30212=29/2x3=30312=19/2x5=30512=11/20302,3530x

F2nnF24

Chao Xu
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