Jeu d'embauche de secrétaire

Il s'agit d'une extension du problème classique des secrétaires .

Dans le jeu d'embauche, vous avez un ensemble de candidats $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$ et déterminez la compétence de chaque travailleur.

Wlog, nous supposons que $c_1$ est le plus qualifié, suivi de $c_2$ , etc.

L'ordre dans lequel les candidats sont interviewés est choisi uniformément au hasard et il est (évidemment) inconnu des employeurs.

Supposons maintenant que vous ayez un marché avec 2 employeurs potentiels. À chaque tour, un nouveau candidat s'entretient avec les deux entreprises (appelez-les $A,B$ ). Au cours de l'entretien, $A$ et $B$ observent tous deux le classement partiel de tous les anciens candidats, y compris la personne interrogée actuelle. Les entreprises décident ensuite (indépendamment) d'embaucher le candidat d'aujourd'hui.

Malheureusement pour $B$ , il ne peut rivaliser financièrement avec $A$ offre d », donc si une offre à la fois étend pour un travailleur, $A$ obtient la préférence.

De plus, une fois qu'un secrétaire signe, l'entreprise ne peut plus interroger d'autres candidats et le concurrent prend connaissance de la signature .

L'objectif de chaque entreprise est d'embaucher le candidat le mieux qualifié (contrairement au problème classique, où une seule entreprise souhaite trouver le meilleur secrétaire), car il est connu que l'entreprise avec le meilleur secrétaire devrait être en mesure marché.

Quelle est la stratégie optimale en tant que grande entreprise ( )?$A$

Et la petite entreprise ( )?$B$

Si les deux entreprises jouent leurs stratégies d'équilibre, quelle est la probabilité que obtienne le meilleur travailleur?$B$

---

Dans un travail connexe , Kalai et al. discute de la version symétrique de ce problème, où les deux sociétés ont le même pouvoir d'attirer des candidats.

Dans ce contexte, l'équilibre (symétrique) simple est que vous engagez une secrétaire si la chance qu'elle soit meilleure que les autres candidats est d'au moins 50%.

Comment ce résultat change-t-il dans notre environnement?

Pour la société / la firme / la société géante / "big pharma" / "L'HOMME", la stratégie ne change pas de la version symétrique:$A$

Prenons un tour où la probabilité de ne voir que des candidats de moindre importance par la suite est . Si l'entreprise A conserve le candidat, elle a alors une chance de gagner > .5 . Si A ne retient pas le candidat, alors l'entreprise B peut embaucher le candidat et l'entreprise A a une chance de gagner < 0,5 . Donc, évidemment, l'entreprise A embaucherait (et l'entreprise B tenterait d'embaucher) dans cette situation.$> .5$$A$$> .5$$A$$B$$A$$< .5$$A$$B$

Pour un candidat avec des cotes gagnantes d'exactement , A peut ou non choisir d'embaucher, mais B choisirait d'embaucher parce que B ne peut jamais obtenir de meilleures cotes que 0,5 .$.5$$A$$B$$B$$.5$

Si l'entreprise embauchée avant de voir un candidat avec une chance de gagner > = 0,5 , alors les chances d'un meilleur futur candidat existant (et donc gagnant B ) seraient > 0,5 . Donc, A n'engagera pas tant qu'il n'aura pas vu un candidat de cotes gagnantes > = 0,5 .$A$$>= .5$$B$$> .5$$A$$>= .5$

Par conséquent, stratégie de » est identique au cas symétrique: location le premier candidat qui donne gain de chances > 0,5 . $A$$> .5$

« stratégie, alors, est formé avec une » stratégie àesprit. De toute évidence, si$B$$A$$A$ engage (à ou) avant , alors la stratégie de B est d'embaucher le prochain candidat qui est meilleur que A , le cas échéant. De plus, si un candidat arrive avec des cotes gagnantes > 0,5 , B devrait essayer d'embaucher, même si A tentera également d'embaucher (et forcera B à continuer de chercher).$B$$B$$A$$> .5$$B$$A$$B$

La seule question qui reste est: est-il toujours avantageux pour d'embaucher lorsque les chances de gagner sont < = 0,5 . La réponse est oui.$B$$<= .5$

Intuitivement, dire qu'il ya un tour où les chances de gagner avec le candidat est . De plus, il y a "probablement" (expliqué plus loin) un futur candidat avec des cotes gagnantes > 0,5 + ϵ . Il serait alors avantageux pour B de choisir le candidat précédent.$.5 - \epsilon$$> .5 + \epsilon$$B$

Que le candidat entrevue au tour r pour tous 1 < = r < = N .$d_r$$r$$1 <= r <= N$

Officiellement, la stratégie de est la suivante: "embaucher d r si cela donne de meilleures chances de gagner que sinon". Voici comment nous calculons une telle décision.$B$$d_r$

Laisser la probabilité de gagner après l'entretien et l'embauche d r étant donné que d r est le i ème candidat le mieux interviewé. Alors:$p_{r,i}$$d_r$$d_r$$i$

probabilité que d s < d r pours>$p_{r,i} =$$d_s < d_r$$s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

Notamment, est facilement calculable avec une précision constante.$p_{r,i}$

Soit la probabilité queBgagne, étant donné qu'aucune entreprise n'a embauché aux tours1àr-1.$P_{B,r}$$B$$1$$r-1$

Alors embaucherait d r si la probabilité de gagner après l'embauche$B$$d_r$ est meilleure que P B , r + 1 .$d_r$$P_{B,r+1}$

Notez que , car si c'est le dernier tour, alorsAest garanti à embaucher etBn'engagera personne et perdra.$P_{B,N} = 0$$A$$B$

Ensuite, au tour , B est assuré d'essayer d'embaucher et réussira à moins que A n'embauche également. Donc: P B , N - 1 = $N-1$$B$$A$

$$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$$

Ce qui conduit à la fonction récursive:

$$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$$

$P_{B,r}$$B$$P_{B,1}$$N$

$B$$N$$N$$B$