NP-Complétude du problème de décision pour le casse-tête généralisé

Je suis intéressé par la généralisation naturelle du célèbre casse-tête de 15 , dans laquelle vous devez faire glisser des blocs jusqu'à ce que vous ayez trié tous les nombres donnés (généralement, il y a un écart d'un bloc).

La généralisation consisterait maintenant à étendre la taille du puzzle de 15 à , où un champ est libre. J'ai créé une petite illustration (les flèches en pointillés indiquent les mouvements autorisés et la configuration inférieure, le puzzle résolu):$p \times q$

Étant donné la configuration initiale d'un puzzle, je me pose la question suivante:

Question de décision : Soit un puzzle de taille , et un nombre . Existe-t-il une séquence de ou moins de mouvements autorisés qui transforment le puzzle en configuration résolue?$p \times q$$k \in \mathbb{N}$$k$

J'ai déjà fait des recherches et trouvé l'article intitulé " Le -Puzzle et problèmes de relogement connexes$(n^2−1)$ " de 1990, qui montre que le fait de décider de ma question pour est NP-Complete et que, par conséquent, le fait de décider de ma question est NP -Complete (comme l'algorithme général pourrait aussi décider de la question des champs symétriques).$p=q$

La question qui reste ouverte est de savoir si le problème de décision est également NP-Complete pour q fixe > 1$q>1$ . Je suis particulièrement intéressé par les cas particuliers $q=2,3$ . Il reste également ouvert si autoriser plus d'espaces libres qu'un champ rend le problème de décision plus difficile ou plus facile.

Tous les articles que j'ai pu trouver omettent tristement le cas asymétrique, donc je pense qu'il n'y a peut-être aucun résultat connu à ce sujet. Comme la preuve dans l'article est assez compliquée et ne traduit pas du tout pour une hauteur fixe, j'espère plutôt que quelqu'un pourra proposer une réduction / un article différent qui répond à certaines des questions.

Autres articles connexes (à prolonger):

• http://larc.unt.edu/ian/pubs/saml.pdf
• http://red.cs.nott.ac.uk/~gxk/papers/icga2008_preprint.pdf
• http://erikdemaine.org/papers/AlgGameTheory_GONC3/

Je pense avoir trouvé une réponse partielle (bien que très décevante) à mon problème:

Je suis tombé sur ce document (2007):

" La complexité du routage tridimensionnel des canaux " de Satoshi Tayu et Shuichi Ueno

$p,q$$p \times q-1$

$k$$k \geq 2$

$p \times q-1$$k \geq 2$$k$

$p \times q-1$$k$$2$