Temps de couverture et écart spectral pour des marches aléatoires réversibles

Je cherche un théorème qui dit quelque chose comme ceci: si le temps de couverture d'une chaîne de Markov réversible est petit, alors l'écart spectral est grand. Ici, l'écart spectral signifie c'est-à-dire que nous ignorons la plus petite valeur propre de la chaîne.$1-|\lambda_2|$

Le seul résultat que j'ai pu trouver dans cette direction provient de Bounds on the Cover Time , Broder et Karlin, FOCS 88. Là, on suppose que la matrice de transition de la chaîne est doublement stochastique (mais pas nécessairement réversible) et apériodique; grosso modo, le papier montre que sous ces hypothèses si le temps de couverture est , alors 1 - max ( | λ 2 | , | λ n | ) est au moins n - 1 .$O(n \log n)$$1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

Intuitivement, il semble très plausible que si vous pouvez couvrir rapidement tous les sommets d'un graphique, le temps de mixage doit être petit. En particulier, si vous pouvez couvrir tous les sommets d'un graphe en temps , vous devriez sûrement être en mesure d'exclure un écart spectral de, disons, n - 1000 ?$n^2$$n^{-1000}$

Un obstacle possible qui briserait l'implication entre peu de temps de couverture et un grand écart spectral est bipartiteness: sur un graphe biparti, vous pouvez avoir un petit temps de couverture avec une valeur propre de . Par dans ma question, je contourne ce problème en ignorant la plus petite valeur propre.$-1$

$n^{1000}$$n^2$

$\pi$