Limites inférieures sur #SAT?

Le problème #SAT est le problème canonique # P-complete. C'est un problème de fonction plutôt qu'un problème de décision. Il demande, étant donné une formule booléenne dans la logique propositionnelle, combien d'affectations satisfaisantes F a. Quelles sont les meilleures limites inférieures sur #SAT?$F$$F$

À ma connaissance, personne n'a compris comment exploiter la propriété "counting solutions" de #SAT dans n'importe quelle limite inférieure des algorithmes déterministes, donc malheureusement les limites inférieures les plus connues pour #SAT sont fondamentalement les mêmes que celles pour SAT.

Cependant, il y a eu un petit progrès. Notez que la version de la décision de #SAT est appelée « Majorité-SAT »: donné une formule, faire au moins des affectations possibles la satisfaire? $1/2$"Majority-SAT" est complet, et étant donné un algorithme pour Majority-SAT, on peut résoudre #SAT avec des appels O ( n ) à l'algorithme.$PP$$O(n)$

Le plus proche que les gens ont atteint de nouvelles limites inférieures pour #SAT (qui ne sont pas connues pour tenir compte de SAT) est avec des limites inférieures pour "Majority-of-Majority-SAT": étant donné une formule propositionnelle sur deux ensembles de variables X et Y , pendant au moins des affectations possibles à X , il est vrai qu'au moins 1 / 2 des assignations à Y rendre la formule satisfaisable? $1/2$$X$$1/2$$Y$Ce problème se situe au "deuxième niveau" de la hiérarchie de comptage (la classe ). Les limites inférieures de l'espace-temps quantique (et plus) sont connues pour cette classe.$PP^{PP}$

L'enquête à http://pages.cs.wisc.edu/~dieter/Papers/sat-lb-survey-fttcs.pdf donne un aperçu des résultats dans cette direction.

En outre, #SAT ne possède pas de schéma d'approximation polynomiale entièrement randomisée (FPRAS) à moins que .$NP=RP$