Une fonction calculable peut-elle converger vers un nombre non calculable?

Existe-t-il une fonction calculable telle que:$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$

• Pour tout$t\in\mathbb{N}: 0\le f(t) < X$
• $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t) = X$

Où $X$ est un nombre réel non calculable.

La seule référence à cette question que j'ai trouvée était la réponse à cette question : /math//a/1052579/168764 , où la fonction semble tenir, mais je n'ai aucune idée de la façon de prouver que la limite de cette fonction est un nombre réel non calculable.

Considérons l'encodage en nombre réel du problème (presque) d'arrêt, c'est-à-dire $0.r_1r_2...$ où $r_i=1$ si la ième machine de Turing (par rapport à l'ordre lexicographique) s'arrête sur l'entrée vide, et $r_i=0$ sinon. Appelons ce nombre par $R$ .

Maintenant, considérons la machine qui sur l'entrée simule toutes les machines de Turing de longueur sur l'entrée vide pour étapes, et renvoie où si la ième machine de Turing s'arrête sur l'entrée vide en moins de étapes, et sinon. Il est clair que pour tout il estime que , et il est pas trop difficile de montrer que converge vers . Le point clé est que le taux de convergence n'est pas calculable, ce qui signifie que étant donné$M$$n$$< n$$n$$0.\hat{r_1}...\hat{r_{2^n-1}}$$\hat{r_i}=1$$i$$n$$\hat{r_i}=0$$n$$M(n)< R$$\{M(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$R$$\epsilon$, Vous ne pouvez pas calculer l'indice de telle sorte que au - delà de la série est -près à .$\epsilon$$R$