Existe-t-il une MT qui s'arrête sur toutes les entrées mais cette propriété n'est pas prouvable?

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Existe-t-il une machine de Turing qui s'arrête sur toutes les entrées mais cette propriété n'est pas prouvable pour une raison quelconque?

Je me demande si cette question a été étudiée. Remarque: «non démontrable» pourrait signifier un système de preuve «limité» (qui au sens faible pense que la réponse doit être oui). Je suis bien sûr intéressé par la réponse la plus forte possible, c'est-à-dire qui ne peut pas être arrêtée sur toutes les entrées dans la théorie des ensembles ZFC, par exemple .

Il m'est venu à l'esprit que cela pouvait être vrai pour la fonction Ackermann mais je suis flou sur les détails. Il ne semble pas que Wikipedia décrive clairement cet aspect.

computability reference-request turing-machines halting-problem vzn
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Peano Arithmetic suffit à prouver que la fonction d'Ackermann est totale: il s'agit de l'exercice 17 des notes Introduction to PA de Jaap van Oosten .

David Richerby

total calculable fn defn wikipedia. notez que cette question a été en partie motivée par la recherche dans le collatz fn où il s'agit d'une longue question ouverte connexe ...

vzn

2

C'est une remarque stupide, mais notez que pour chaque machine Turing M qui se termine sur toutes les entrées, la théorie

est une théorie cohérente. Mais en utilisant le théorème de Gödels, nous pouvons montrer qu'il n'y a pas de théorie récursive unique qui puisse prouver l'arrêt de toutes ces machines.

P A + " M terminates on all input"

$\mathrm{PA}+\mbox{"$M$ terminates on all input"}$

cody

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Oui. La machine de Turing qui calcule la séquence de Goodstein à partir de son entrée et se termine lorsque la séquence atteint zéro. Il se termine toujours mais cela ne peut pas être prouvé en arithmétique Peano. Je suis sûr qu'il existe des choses équivalentes pour ZFC ou tout autre système que vous pourriez choisir.

Edit For ZF, Hartmanis et Hopcroft montrent qu'il existe une machine Turing qui rejette chaque entrée mais que cela ne peut pas être prouvé en ZF. Je ne sais pas si ZF peut prouver que s'arrête toujours mais cela ne peut certainement pas prouver que la machine "Si accepte puis boucle pour toujours, sinon s'arrête" s'arrête toujours, même si c'est le cas. Cela laisse toujours ZFC ouvert mais ZF est plus puissant que PA. $M$ $M$ $M'(x)$ $=$ $M$ $x$

Voir Sec. 3 de l'enquête de Scott Aaronson sur l'indépendance de P = NP pour une exposition du résultat Hartmanis – Hopcroft et des citations de leurs articles originaux.

David Richerby
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A propos de l'ajout de l'axiome de choix: ZFC ne peut pas faire mieux que ZF pour des déclarations "simples" comme un problème d'arrêt (dans ce cas

si je ne me trompe pas). En effet , ZF et ZFC prouvent exactement le même

déclarations.

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

Π_{2}^{0}

$\Pi^0_2$

cody

6

Prenons une théorie qui est au moins aussi forte que l'arithmétique "de base", et qui est récursivement énumérable (il est possible d'énumérer chaque théorème de ). ${\cal T}$ ${\cal T}$

Construisez la machine , qui se comporte comme suit sur l'entrée : $M$ $n$

If there is no proof of 0 = 1 in less than n steps in T, ACCEPT
Otherwise, LOOP.

Il est assez facile de montrer en utilisant le second théorème d'incomplétude que ne peut pas prouver que termine sur toutes les entrées (si c'est cohérent). ${\cal T}$ $M$

Cela fonctionne bien sûr pour , , , ... tant qu'ils sont cohérents. ${\cal T}=\mathrm{ZFC}$ ${\cal T}=\mathrm{PA}$ ${\cal T}=\mathrm{PA²}$

cody
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5

$N$

Daniil
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Existe-t-il une MT qui s'arrête sur toutes les entrées mais cette propriété n'est pas prouvable?

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